已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/(anSn-Sn^2)=1(n大于等于2)(1)证明数列{1/Sn}成等差数列,并求Sn(2)求数列{an}的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 21:39:07
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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/(anSn-Sn^2)=1(n大于等于2)(1)证明数列{1/Sn}成等差数列,并求Sn(2)求数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/(anSn-Sn^2)=1(n大于等于2)
(1)证明数列{1/Sn}成等差数列,并求Sn
(2)求数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,2an/(anSn-Sn^2)=1(n大于等于2)(1)证明数列{1/Sn}成等差数列,并求Sn(2)求数列{an}的通项公式
由题意知:2an/[anSn-(Sn)²]=1(n>1)
则:(Sn)²-anSn+2an=0(n>1)
又因为:an=Sn-S(n-1)(n>1)
所以:(Sn)²-[Sn-S(n-1)]Sn+2[Sn-S(n-1)]=0
展开化简:S(n-1)Sn+2Sn-2S(n-1)=0
两边同除以S(n-1)Sn,得:1+2/S(n-1)-2/Sn=0
即:(1/Sn)-[1/S(n-1)]=1/2(n>1)
所以:数列{1/Sn}是以1/S2为首项,公差为1/2的等差数列
当n=2时,(S2)²-a2S2+2a2=0
即:(a1+a2)²-a2(a1+a2)+2a2=0且a1=1
(1+a2)²-a2(1+a2)+2a2=0
化简得:a2=-1/3
所以:S2=a1+a2=1+(-1/3)=2/3
因此:1/Sn=1/S2+(n-2)*(1/2)=3/2+(n-2)*(1/2)=(n+1)/2(n>1)
则:Sn=2/(n+1)(n>1)
当n=1时,S1=2/(1+1)=1=a1
所以:Sn=2/(n+1)
因为:2an/[anSn-(Sn)²]=1(n>1)
则:an=(Sn)²/(Sn-2)=[2/(n+1)]²/{[2/(n+1)]-2}=-2/[n*(n+1)](n>1)
当n=1时,a1=1不满足上式
所以:
an=a1(n=1)
an=-2/[n*(n+1)](n>1)
将an=Sn-Sn-1代入已知条件 整理即可得到证明 从而求出Sn与an