已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数急救
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 00:08:57
![已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数急救](/uploads/image/z/1265339-11-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAR%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94%E5%AE%83%E7%9A%84%E5%9B%BE%E5%83%8F%E5%85%B3%E4%BA%8E%E7%9B%B4%E7%BA%BFx%3D1%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E6%B1%82f%280%29%E7%9A%84%E5%80%BC+%E8%AF%81%E6%98%8Ef%28x%29%E6%98%AF%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%80%A5%E6%95%91)
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数急救
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数
急救
已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且它的图像关于直线x=1对称求f(0)的值 证明f(x)是周期函数急救
对于定义域为R的奇函数,恒有f(0)=0
因为f(x)关于直线x=1对称
所以f(1+x)=f(1-x)
又f(x)是奇函数
所以f(1-x)=-f(-(1-x))=-f(x-1)
所以f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1)
即f(x+1)=-f(x-1)
f(x+2)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
所以f(x)是周期函数
∵f(x)是奇函数,所以f(0)=-f(0)
∴f(0)=0
又∵f(x)关于x=1对称
∴f(1+x)=f(1-x)
又f(1-x)=-f(x-1)
∴f(x+1)+f(x-1)=0
∴f(x)是周期为4的函数
证明: 它的图像关于直线x=1对称
则 f(-x)=f(x+2)
而 f(x)是奇函数
则 f(-x)=-f(x)
所以 -f(x)=f(x+2)
即: f(x)+f(x+2)=0 ……(1)
f(x+2)+f(x+4)=0 ……(2)
(1)-(2)化简得 :f(x)=f(x+4)
...
全部展开
证明: 它的图像关于直线x=1对称
则 f(-x)=f(x+2)
而 f(x)是奇函数
则 f(-x)=-f(x)
所以 -f(x)=f(x+2)
即: f(x)+f(x+2)=0 ……(1)
f(x+2)+f(x+4)=0 ……(2)
(1)-(2)化简得 :f(x)=f(x+4)
所以周期是 4
f(0)=0 明显,因为f(x)是奇函数
收起
奇函数一定过(0,0)
它关于x=1对称
所以f(2)=0
因为它关于x=1对称,
所以x=1为单调性改变的点。
假设f(x)在(0,1)为增函数
所以f(x)在(1,1+)为减函数。
由于f(x)为奇函数
于是在(-1,0)增函数
(-1-,-1)为减函数
f(x)关于原点成中心对称。
由中心对称和轴对称得图...
全部展开
奇函数一定过(0,0)
它关于x=1对称
所以f(2)=0
因为它关于x=1对称,
所以x=1为单调性改变的点。
假设f(x)在(0,1)为增函数
所以f(x)在(1,1+)为减函数。
由于f(x)为奇函数
于是在(-1,0)增函数
(-1-,-1)为减函数
f(x)关于原点成中心对称。
由中心对称和轴对称得图f(x)的延续图像。
于是f(-1)=f(3)于是
f(x)=f(x+4)所以周期为4
收起