已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)求证:1.3∈A.2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 04:51:26
![已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)求证:1.3∈A.2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.](/uploads/image/z/12077680-40-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E9%9B%86%E5%90%88A%E4%B8%AD%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0x%E5%9D%87%E6%BB%A1%E8%B6%B3x%3Dm%26%23178%3B-n%26%23178%3B%28m%2Cn%E2%88%88Z%29%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A1.3%E2%88%88A.2.%E5%81%B6%E6%95%B04k-2%EF%BC%88k%E2%88%88Z%EF%BC%89%E4%B8%8D%E5%B1%9E%E4%BA%8E%E9%9B%86%E5%90%88A.)
已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)求证:1.3∈A.2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)
求证:1.3∈A.
2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
已知集合A中的元素x均满足x=m²-n²(m,n∈Z)求证:1.3∈A.2.偶数4k-2(k∈Z)不属于集合A.
证明:第一问:当m=2,n=1时,x=3,显然结论成立
第二问:假设存在这样的数使得x=m²-n²=4k-2
那么(m+n)(m-n)=4k-2=2(2k-1)
可以发现((m+n) (m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数,因为2k-1无论怎么因式分解都不会产生偶数
假设m+n为奇数,那么m、n中必定是一个奇数、一个偶数,则m-n同样是奇数,那么两者乘积肯定为奇数,与假设矛盾
假设m+n为偶数,那么m、n要么同为奇数、要么同为偶数,m-n也是必定为偶数,但是这与之前的结论矛盾((m+n) (m-n)其中必有一个是奇数,一个为偶数)