已知二次函数F(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B.(2)求证:方程F(x) —g(x)=0的两根都小于2.(3)求线段AB在X轴上的射影A1B1的
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 07:44:38
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已知二次函数F(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B.(2)求证:方程F(x) —g(x)=0的两根都小于2.(3)求线段AB在X轴上的射影A1B1的
已知二次函数F(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c∈R).
(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B.
(2)求证:方程F(x) —g(x)=0的两根都小于2.
(3)求线段AB在X轴上的射影A1B1的长的取值范围.
已知二次函数F(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)= —bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0.(a,b,c∈R).(1)求证:两函数的图像交于不同的两点A,B.(2)求证:方程F(x) —g(x)=0的两根都小于2.(3)求线段AB在X轴上的射影A1B1的
因为a>b>c,且a+b+c=0,则a>0,c<0.
(1)令f(x)=g(x),有ax²+2bx+c=0,x=[-2b±√(4b²-4ac)]/2a=[-b±√(b²-ac)]/a
又a>0,c<0,所以ac<0,即4b²-4ac>0,且a>0,所以ax²+2bx+c=0有两个不想等的解,即两函数的图像交于不同的两点
(2)因为a>0,所以方程的两根x1=[-b+√(b²-ac)]/a大于x2=[-b-√(b²-ac)]/a,只要证明x1<2即可.令x1<2,有[-b+√(b²-ac)]/a<2=>-b+√(b²-ac)<2a=>0<√(b²-ac)<2a+b,不等式两边平方有b²-ac<4a²+4ab+b²=>4a²+4ab+ac>0=>4a(a+b+c)-3ac>0,因为a+b+c=0,所以-3ac>0,又a>0,c<0,所以ac<0,-3ac>0显然成立.即x1<2成立,又x1>x2,所以方程f(x)-g(x)=0的两根都小于2成立.
(3)线段AB在X轴上的投影就是其横坐标,即x1、x2,又x1>x2,A1B1的长等于x1-x2的值.
x1-x2=[2√(b²-ac)]/a=2√[(b²-ac)/a²]=2√[(c/a+1/2)²+3/4],又a>b>c,a+b+c=0,a=-(b+c),当b趋近于a时,c/a趋近于-2,当b趋近于 c时,c/a趋近于-1/2,所以-1/2>c/a>-2,所以2√(3/4)]=√3<x1-x2<2√[(-2+1/2)²+3/4]=2√3,即A1B1的长的取值范围是(√3,2√3).
题呢
函数范围那么广,谁知道你指什么地方