设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是为 a,b,c ,且 acos B - bcos A=(3/5)c ,则 tan(A - B) 的最大值是________.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/04 12:24:03
![设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是为 a,b,c ,且 acos B - bcos A=(3/5)c ,则 tan(A - B) 的最大值是________.](/uploads/image/z/11472361-25-1.jpg?t=%E8%AE%BE+%E2%96%B3ABC+%E7%9A%84%E5%86%85%E8%A7%92+A%2CB%2CC+%E6%89%80%E5%AF%B9%E7%9A%84%E8%BE%B9%E9%95%BF%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E4%B8%BA+a%2Cb%2Cc+%2C%E4%B8%94+acos+B+-+bcos+A%3D%283%2F5%29c+%2C%E5%88%99+tan%28A+-+B%29+%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%98%AF________.)
设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是为 a,b,c ,且 acos B - bcos A=(3/5)c ,则 tan(A - B) 的最大值是________.
设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是为 a,b,c ,且 acos B - bcos A=(3/5)c ,则 tan(A - B) 的最大值是________.
设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别是为 a,b,c ,且 acos B - bcos A=(3/5)c ,则 tan(A - B) 的最大值是________.
acosB-bcosA=3/5c
由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=k
得:a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC
即:ksinAcosB-ksinBcosA=3/5ksinC,∠C=π-(∠A+∠B)
sinAcosB-sinBcosA=3/5sin[π-(A+B)]
sinAcosB-sinBcosA=3/5sin(A+B)
sinAcosB-sinBcosA=3/5sinAcosB+3/5sinBcosA
2/5sinAcosB=8/5sinBcosA
sinA/cosA=4sinB/cosB
tanA=4tanB
tan(A-B)
=sin(A-B)/cos(A-B)
=(sinAcosB-sinBcosA)/(cosAcosB+sinAsinB)
=(sinAcosB/cosAcosB-sinBcosA/cosAcosB)/(1+sinAsinB/cosAcosB)
=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
=(4tanB-tanB)/(1+tan2B)
=3tanB/(1+4tan2B)
=3/(1/tanB+4tanB)
因为,A、B、C都是三角形ABC的内角
所以,当且仅当1/tanB=4tanB,即tanB=1/2时
tan(A-B)
=3/(1/tanB+4tanB)
≤3/2(4tanB/tanB)^(1/2)
=3/4
所以,tan(A-B)的最大值为3/4