已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/01 06:23:44
![已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)](/uploads/image/z/11423690-26-0.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%2Cc%E6%98%AF%E4%B8%8D%E5%85%A8%E7%9B%B8%E7%AD%89%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%812%28a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%29%3Ea%5E2%28b%2Bc%29%2Bb%5E2%28a%2Bc%29%2Bc%5E2%28a%2Bb%29)
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
已知a,b,c是不全相等的正数,求证2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
两式相减,提取公因式a^2,b^2,c^2
得a^2(2a-b-c)+b^2(2b-a-c)+c^2(2c-a-b)
=(a-c)(a^2-c^2)+(b-c)(b^2-c^2)+(a-b)(a^2-b^2)
然后再把每项化成(a-b)^2(a+b)的形式,最后大于零
还有问题可以去我的空间或者Hi我
原不等式整理得:
不妨设a>=b>=c
于是a^2>=b^2>=c^2
显然a^3+b^3+c^3是顺序和,a^2b+b^2c+c^2a是乱序和,所以a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
同理ab^2+bc^2+ca^2也是乱序和,所以a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
于是我们得到两个不等式:
a^3+b^3+...
全部展开
原不等式整理得:
不妨设a>=b>=c
于是a^2>=b^2>=c^2
显然a^3+b^3+c^3是顺序和,a^2b+b^2c+c^2a是乱序和,所以a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
同理ab^2+bc^2+ca^2也是乱序和,所以a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
于是我们得到两个不等式:
a^3+b^3+c^3>=a^2b+b^2c+c^2a
a^3+b^3+c^3>=ab^2+bc^2+ca^2
上两式相加整理即得2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
而排序不等式等号成立条件为a=b=c,而此时a,b,c不全相等,因此取不到等号,所以:
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证毕。
收起
根据排序不等式
不妨设a>=b>=c
则a^2>=b^2>=c^2
所以a^3+b^3+c^3>a^2b+b^2c+c^2a(顺序和大于逆序和)
a^3+b^3+c^3>a^2c+b^2a+c^2b(顺序和大于乱序和)
相加即得
2(a^3+b^3+c^3)>a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)