在三角形ABC 求证:sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC(sinA+sinB)自己设计一道类似于上提的不等式证明,并写出证明过程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/02 00:50:22
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在三角形ABC 求证:sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC(sinA+sinB)自己设计一道类似于上提的不等式证明,并写出证明过程
在三角形ABC 求证:sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC(sinA+sinB)
自己设计一道类似于上提的不等式证明,并写出证明过程
在三角形ABC 求证:sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC(sinA+sinB)自己设计一道类似于上提的不等式证明,并写出证明过程
证明:设sinA/a=sinB/b=sinC/c=k,则sinA=ak,sinB=bk,sinC=ck,sinA/(sinB+sinC)+sinB/(sinA+sinC)+sinC(sinA+sinB)=a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=[a(a+c)(a+b)+b(b+c)(a+b)+c(b+c)(a+c)]/[(a+b)(b+c)(a+c)]=[aaa+bbb+ccc+3abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)],因为a<b+c,b<a+c,c<a+b,所以[aaa+bbb+ccc+3abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]<{3abc+2[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]<{4abc+2[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]
=2{2abc+[aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]}/[2abc+aa(b+c)+bb(a+c)+cc(a+b)]=2,即a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)<2.
(aa表示a的平方,aaa表示a的三次方.猜想a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)≥3/2)