在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题(1)连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是(平行四边形).(2)对角线AC、BD满足条件(相互垂直)时,四
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/28 11:29:28
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在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题(1)连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是(平行四边形).(2)对角线AC、BD满足条件(相互垂直)时,四
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题
(1)连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是(平行四边形).
(2)对角线AC、BD满足条件(相互垂直)时,四边形EFGH是矩形.
(3)对角线AC、BD满足条件(相等)时,四边形EFGH是菱形.
(4)对角线AC、BD满足条件(垂直且相等)时,四边形EFGH是正方形.
⑤请选上述一个结论给予证明
在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA边上的中点.阅读材料回答问题(1)连结AC、BD,由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是(平行四边形).(2)对角线AC、BD满足条件(相互垂直)时,四
(1)连接AC、BD.
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,
∴EF∥AC,EF=1/2 AC,FG∥BD,FG=1/2BD,GH∥AC,GH=1/2 AC,
EH∥BD,EH=1/2 BD.
∴EF∥HG,EF=GH,FG∥EH,FG=EH.
∴四边形EFGH是平行四边形;
(2)要使四边形EFGH是矩形,则需EF⊥FG,由(1)得,只需AC⊥BD;
(3)要使四边形EFGH是菱形,则需EF=FG,由(1)得,只需AC=BD;
添加的条件应为:AC=BD.
证明:∵E,F,G,H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=1/2
AC;同理EF∥AC且EF=1/2 AC,同理可得EH=1/2 BD,
则HG∥EF且HG=EF,
∴四边形EFGH为平行四边形,又AC=BD,所以EF=EH,
∴四边形EFGH为菱形.
故答案为:AC=BD
(4)要使四边形EFGH是正方形,综合(2)和(3),则需AC⊥BD且AC=BD.
(1)中位线定理
EH平行且等于1/2BD
FG也平行且等于1/2BD
对边平行且相等,所以是平行四边形
证明:因为E ,F,,G,,H分别是AB ,BC, CD ,DA边上的中点
所以EF ,FG ,HG ,EH分别是三角形ABC ,三角形BCD,三角形ADC,三角形ABD的中位线
所以EF=1/2AC
FG=1/2BD
GH=1/2AC
EH=1/2BD
因为AC=BD
所以EF=FG=GH=EH
所以四边形EFGH是菱形