已知函数f(x)=(2x+a)e^x(e^x为自然对数的底数)若对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立,求实数a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/27 19:11:29
![已知函数f(x)=(2x+a)e^x(e^x为自然对数的底数)若对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立,求实数a的取值范围.](/uploads/image/z/1021755-3-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%282x%2Ba%29e%5Ex%28e%5Ex%E4%B8%BA%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0%E7%9A%84%E5%BA%95%E6%95%B0%29%E8%8B%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B-1%2C1%5D%E5%86%85%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%88%87%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2C%E9%83%BD%E6%9C%89-2%E2%89%A4f%EF%BC%88x%EF%BC%89%E2%89%A4e%26%23178%3B%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=(2x+a)e^x(e^x为自然对数的底数)若对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=(2x+a)e^x(e^x为自然对数的底数)
若对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立,求实数a的取值范围.
已知函数f(x)=(2x+a)e^x(e^x为自然对数的底数)若对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立,求实数a的取值范围.
f'(x)=(2x+2+a)*e^x
令f'(x)=0 x=-(2+a)/2
(1) -(2+a)/2>=1 即a
求导:f‘(x)=2e^x+(2x+a)e^x=(2x+a+2)e^x
令f‘(x)=0,得:(2x+a+2)e^x=0,得:x=-1-a/2
当x<-1-a/2时,f‘(x)<0,函数单调递减
当x>-1-a/2时,f‘(x)>0,函数单调递增
所以,函数f(x)有且只有一个极值为f(-1-a/2)=-2e^(-1-a/2)
所以当x区间[-1,1]时,函...
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求导:f‘(x)=2e^x+(2x+a)e^x=(2x+a+2)e^x
令f‘(x)=0,得:(2x+a+2)e^x=0,得:x=-1-a/2
当x<-1-a/2时,f‘(x)<0,函数单调递减
当x>-1-a/2时,f‘(x)>0,函数单调递增
所以,函数f(x)有且只有一个极值为f(-1-a/2)=-2e^(-1-a/2)
所以当x区间[-1,1]时,函数f(x)的最值落在于f(-1)=(a-2)/e,f(1)=(2+a)e
f(-1-a/2)=-2e^(-1-a/2)之间
所以对于区间[-1,1]内的一切实数x,都有-2≤f(x)≤e²成立等价于函数的最大最小值都落在区间-2到e²里,所以,只要使:
-2≤f(-1)≤e²
-2≤f(1)≤e²
-2≤f(-1-a/2)≤e²
再取三个不等式的交集
即:-2≤(a-2)/e≤e²,-2≤(2+a)e≤e²,-2≤-2e^(-1-a/2)≤e²
解得:-2≤a≤e-2
如果想分类讨论也行的,但会较麻烦,希望我的回答对你有帮助,goodluck
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