已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)证明函数F(x)=sinπ属于M
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 07:00:51
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已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)证明函数F(x)=sinπ属于M
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)
证明函数F(x)=sinπ属于M
已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,使得对任意x属于R,有f(x+T)=Tf(x)成立.(1)证明函数F(x)=sinπ属于M
22.⑴对于非零常数T,f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R,x+T= Tx不能恒成立,∴f(x)=
⑵因为函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,
所以方程组: 有解,消去y得ax=x,
显然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常数T,使aT=T.
于是对于f(x)=ax有 故f(x)=ax∈M.
⑶当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.
当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,对任意x∈R,有
f(x+T)=T f(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx .
因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,
于是sinkx ∈[-1,1],sin(kx+kT) ∈[-1,1],
故要使sin(kx+kT)=Tsinkx .成立,
只有T= ,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx 成立,则k=2mπ, m∈Z .
当T=-1时,sin(kx-k)=-sinkx 成立,即sin(kx-k+π)= sinkx 成立,
则-k+π=2mπ, m∈Z ,即k=-2(m-1)π, m∈Z .
综合得,实数k的取值范围是{k|k= mπ, m∈Z}.
求什么 。。