设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(2,根号2),N(根号6,1)两点,O为原点坐标是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,且向量OA⊥向量OB,若存在,求出该圆的方程,并求出 lABl 取
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 20:42:11
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设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(2,根号2),N(根号6,1)两点,O为原点坐标是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,且向量OA⊥向量OB,若存在,求出该圆的方程,并求出 lABl 取
设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(2,根号2),N(根号6,1)两点,O为原点坐标
是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,且
向量OA⊥向量OB,若存在,求出该圆的方程,并求出 lABl 取值范围
设椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1过点M(2,根号2),N(根号6,1)两点,O为原点坐标是否存在圆心在原点的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点,且向量OA⊥向量OB,若存在,求出该圆的方程,并求出 lABl 取
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(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,) ,N( ,1)两点,
所以 解得 所以 椭圆E的方程为
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,
则△= ,即
,要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 ,,,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上,存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .
因为 ,
所以 ,
,
①当 时
因为 所以 ,
所以 ,
所以 当且仅当 时取”=”.
② 当 时,.
③ 当AB的斜率不存在时,两个交点为 或 ,所以此时 ,
综上,|AB |的取值范围为 即: